Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало

^ Глава V. Западная Европа. - Начало
1. Более развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. Земледелие Запада было экстенсивным, никогда не имело в собственной базе орошения, и это не способствовало астрономическим Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало исследованиям. Вправду, Запад прекрасно обходился минимумом астрономии, известным объемом практической математики и некими приемами измерения для целей торговли и землемерия, стимулы же для развития этих наук шли с Востока. Когда Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Восток и Запад оказались политически разобщенными, такие стимулы практически на сто процентов пропали. Неподвижная цивилизация Западной Римской империи сохранялась в течение ряда веков только с малозначительными переменами либо разрывами. Средиземноморское единство древней цивилизации тоже оставалось Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало нетронутым, даже варварские вторжения не очень сказались на нем. Во всех германских царствах, кроме, пожалуй, английского, экономические условия, публичные установления и умственная жизнь в главном сохранялись такими, какими они были во Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало время упадка Римской империи. Основой хозяйственной жизни было земледелие, при этом рабы равномерно, заменялись свободными землепашцами и арендаторами, но, не считая того, существовали процветавшие городка и обширно развитая торговля на базе валютного Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало воззвания. Основным авторитетом в греко-римском мире после падения Западной империи в 476 г. были на равных правах константинопольские цари и римские папы. Церковная церковь Запада своими учреждениями и своим языком Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало продолжала в меру собственных способностей культурные традиции Римской империи в германских государствах. Монастыри и образованные миряне в известной мере берегли греко-римскую цивилизацию. Один из таких мирян, дипломат и философ Аниций Манилий Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Северин Боэций (Boethius), был создателем математических произведений, чей авторитет сохранялся в западном мире в течение более чем тыщи лет. На этих работах сказалось общее состояние культуры – они бедны содержанием, и то, что они сохранились, может Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало быть, разъясняется убеждением, что их создатель в 524 г. умер как страдалец за католическую веру. Его «Основы арифметики» (Institutio arithmetica) – поверхностный перевод Никомаха, содержащий отчасти теорию чисел пифагорейцев, что вошло в средневековую Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало науку как часть древнего тривиума и квадривиума: математика, геометрия, астрономия и музыка.

Тяжело указать то время, когда на Западе экономика старой Римской империи пропала и уступила место новенькому феодальному порядку. В некий Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало мере этот вопрос разъясняется, если принять догадку Пиренна, а конкретно, что конец старого западного мира наступил с экспансией ислама. Арабы лишили Византийскую империю всех ее провинций на восточных и южных Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало берегах Средиземного моря и превратили восточную часть Средиземного моря в закрытое мусульманское озеро. На несколько веков они очень сделали труднее торговые связи меж Ближним Востоком и христианским Западом. Пути умственного общения меж Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало арабским миром и северными частями бывшей Римской империи в течение веков были загромождены, хотя никогда не были перекрыты вполне.

В эту эру во франкской Галлии и в других бывших частях Римской империи хозяйственная деятельность Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало широкого масштаба равномерно сворачивается, городка приходят в упадок, доходы от налогов становятся малозначительными. Валютное воззвание вытесняется обменом, преобладает местная торговля. Западная Европа приходит в полуварварское состояние. С упадком торговли растет Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало значение земляной знати, и большие северофранкские землевладельцы, возглавляемые Каролингами, становятся решающей силой в стране франков. Экономические и культурные центры передвигаются к северу, в северную Францию и в Британию. Отделение Запада от Востока так ограничивает Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало реальную власть пап, что папство соединяется воединыжды с Каролингами, эмблемой чего было коронование Карла Величавого в 800 г. как правителя Священной Римской империи. Западное общество стало феодальным и церковным, его ориентация была Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало северной и германской.

2. В течение первых веков западного феодализма даже в монастырях не очень высоко ставят арифметику. В земледельческом обществе этого периода, вновь ставшем простым, практически что отсутствовали причины, которые способствовали бы развитию Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало арифметики даже конкретно практического нрава. Математика в монастырях сводилась всего только к умеренной математике церковного предназначения, которой воспользовались приемущественно для вычисления пасхалий (так именуемый «компутус». Боэций был высшим авторитетом. Известное значение посреди Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало этих математиков-церковников заполучил уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Величавого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания мозга юношей» содержат выборку задач, имевшую воздействие на составителей учебников в течение ряда веков Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. Многие из этих задач всходят еще к старому Востоку. К примеру:

«Собака гонится за зайчиком, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало как зайчик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит зайчика?»

«Через реку нужно перевезти троих: волка, козу и вилок капусты; на лодке, не считая перевозчика, может поместиться только один из 3-х Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. Как перевезти их, чтоб коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?»

Другим математиком-церковником был Герберт, французский монах, который в 999 г. стал отцом, приняв имя Сильвестра II. Под воздействием Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Боэция он написал несколько трактатов, но его значение как математика обосновано в главном тем, что он был одним из первых западных ученых, ездивших в Испанию и изучавших арифметику арабского мира Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало.

3. В развитии западного, восточного и ранешнего греческого феодализма имеются значительные различия. Экстенсивный нрав западного земледелия делал лишней необъятную систему бюрократической администрации, так что это не могло послужить основой для деспотизма восточного типа Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. На Западе не было способности в широкой мере обеспечить пополнение рабов. Когда села Западной Европы вырастали в городка, эти городка преобразовывались в самоуправляющиеся единицы и горожане не могли вести праздную жизнь, используя труд рабов. Это Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало одна из главных обстоятельств, в силу которых греческие полисы и западные городка, на исходных стадиях имеющие много общего, в предстоящем становятся резко хорошими друг от друга. Население средневековых городов Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало должно было полагаться на свою свою изобретательность в деле улучшения критерий собственной жизни. В двенадцатом, тринадцатом и четырнадцатом столетиях городка выходят фаворитами в жестокой борьбе против феодалов-землевладельцев, сочетавшейся с штатскими войнами. База их фурроров Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало – не только лишь резвое развитие торговли и валютного хозяйства, да и постепенное усовершенствование техники. Феодальные князья нередко поддерживали городка в их борьбе с более маленькими феодалами и при способности устанавливали свою власть Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало над городками. В конечном счете это повело к появлению в Западной Европе первых государственных стран.

Городка начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало время от времени мирными средствами, время от времени насильным методом, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские городка, за ними последовали городка Франции и Центральной Европы. За Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало негоциантом и за бойцом следовали ученые, а время от времени они были первыми. Испания и Сицилия были самыми близкими пт соприкосновения меж Западом и Востоком, конкретно тут западные негоцианты и студенты познакомились Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало с цивилизацией государств ислама. Когда в 1085 г. Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных государств массами устремились в этот город, чтоб учить науку арабов. Они нередко воспользовались услугами переводчиков-евреев, а в двенадцатом столетии Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало мы лицезреем в Испании Платона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Вата и Роберта из Честера – они все переводят на латинский язык арабские математические рукописи. Конкретно так, через посредство арабов, Европа Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа была довольно развита, чтоб оценить эти познания.

4. Как мы уже произнесли, 1-ые могущественные коммерческие городка появились в Италии. Тут Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало в течение двенадцатого и тринадцатого веков Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели необъятную торговлю с арабским миром и с Севером. Итальянские негоцианты посещали Восток и знакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло обосновывают Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские негоцианты практически за две тыщи лет ранее, они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более старой цивилизации не только лишь для того, чтоб повторять Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало их, да и для того, чтоб использовать их в собственной своей новейшей системе. А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы лицезреем уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.

Первым из этих негоциантов Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы. Леонардо, которого называли также Фибоначчи («сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как негоциант. Возвратившись, он написал свою «Книгу абака» (Liber abaci, 1202 г.), заполненную Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книжке «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г.) Леонардо схожим же образом ведает о том, что он открыл в области геометрии и Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало тригонометрии. Может быть, что он был к тому же необычным исследователем, потому что в его книжках есть много примеров, по-видимому, не имеющих четких соответствий в арабской литературе. Вобщем, он цитирует ал Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало-Хорезми, к примеру, при рассмотрении уравнения . Задачка же, которая приводит к «ряду Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, каждый член которого есть сумма 2-ух ему предыдущих, – по-видимому, является новейшей. Должно быть, новым является и его замечательное подтверждение того, что Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало корешки уравнения  нельзя выразить при помощи евклидовых иррациональностей вида  (как следует, их нельзя выстроить при помощи только циркуля и линейки). Леонардо обосновал это, проверяя любой из пятнадцати случаев Евклида, а Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало потом приближенно обусловил положительный корень этого уравнения, вычислив 6 шестидесятичных символов.

Ряд Фибоначчи выходит при решении последующей задачки:

Сколько пар зайчиков может произойти от одной пары в течение года, если а) любая пара каждый месяц Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало порождает новейшую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) зайчики не подыхают?

«Книга абака» была одним из источников для проникания индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало случаи внедрения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо – из Испания и с Востока ее привозили негоцианты, посланники, ученые, паломники и бойцы. Самый старый европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы, – это «Вигиланский Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало кодекс» (Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 г. Но эти 10 символов медлительно проникали в Западную Европу, и самая ранешняя французская рукопись, в какой мы их находим, относится к 1275 г. Греческая Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало система нумерации оставалась принятой на побережье Адриатики в течение веков. Вычисления нередко производили на древнем абаке, доске со счетными жетонами либо камушками (нередко это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало главном схожем со счетными досками, которыми все еще пользуются российские, китайцы, жители страны восходящего солнца. Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские числа. В течение средних веков и даже позднее Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало мы находим римские числа в торговых книжках, и это показывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения индийско-арабских символов выступали и широкие круги, потому что внедрение этих обозначений Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало затрудняло чтение торговых книжек. В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г.) флорентийским банкирам воспрещалось воспользоваться арабскими цифрами. Только в четырнадцатом столетии итальянские негоцианты начали использовать некие арабские числа в собственных счетных Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало книжках.

5. Вкупе с расширением торговли равномерно энтузиазм к арифметике стал распространяться и на северные городка. Сначала это был практический энтузиазм, и в течение нескольких веков математику и алгебру вне институтов преподавали Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало проф мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато учили бухгалтерии и навигации. В течение долгого времени математика такового рода хранила очевидные следы собственного арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало метод.

Теоретическая математика не пропала полностью в Средние века, но ею занимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов исследование Платона и Аристотеля, в купе с размышлениями о Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало природе божества, приводило к узким рассуждениям относительно сути движения, сути континуума и бесконечности. Ориген, следуя Аристотелю, опровергал существование животрепещуще нескончаемого, но святой Августин в собственном «Граде божьем» воспринимал всю последовательность целых чисел как Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало животрепещущую бесконечность. Он гласит об этом так, что, по замечанию Георга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному и нельзя его лучше найти и доказать, чем святой Августин. Писатели-схоласты средневековья, а именно Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Фома Аквинский, воспринимали аристотелевское «нет животрепещуще бесконечного» (infinitum actu non datur) и каждый континуум рассматривали как потенциально делимый до бесконечности. Таким макаром, не было меньшего отрезка, ибо любая часть отрезка обладала качествами Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало отрезка. Потому точка не была частью полосы, так как точка неразделима: «из неразделимых нельзя составить какого-нибудь континуума» (ex indivisibilis non potest compari aliquod continuum). Точка могла образовать линию при помощи Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало движения. Подобные рассуждения оказали воздействие на изобретателей исчисления нескончаемо малых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинитным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор знали авторов-схоластов и размышляли о Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало значении их мыслях.

Эти духовные лица другой раз получали результаты, которые имели конкретное математическое значение. Томас Врадвардин, который стал архиепископом Кентерберийским, исследовав Боэция, занимался исследованием звездчатых многоугольников. Более значимым посреди этих Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало средневековых математиков из духовенства был Николай Орезм, епископ городка Лизье в Нормандии, применявший дробные степени. Потому что , он записывал 8 как  или как , что обозначало .

Он написал также трактат под заглавием «О размерах форм» (De Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало latitudinibus formarum, ок. 1360 г.), в каком он графически сопоставляет значение зависимого переменного (latitudo) и независящего переменного (longitudo). Это нечто вроде перехода от координат на земной либо небесной сфере, узнаваемых в античности Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, к современной координатной геометрии. Этот трактат пару раз был написан меж 1482 и 1515 гг., и может быть, что он оказал воздействие как на математиков Ренессанса, так и на Декарта.

6. Математика развивалась приемущественно Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало в возрастающих торговых городках, под конкретным воздействием торговли, навигации, астрономии и землемерия. Городских жителей заинтересовывал счет, математика, вычисления. Зомбарт прозвал эту заинтригованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатого веков германским словом Rechenhaftigkeit. Ведущими представителями этой приверженности Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало к практической арифметике были мастера счета, и только время от времени к ним присоединялся кто-нибудь из институтских людей, понявший благодаря исследованию астрономии значимость улучшения вычислительных способов. Центрами новейшей жизни были итальянские Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало городка и такие городка Центральной Европы, как Нюрнберг, Вена и Прага. После падения Константинополя в 1453 г., когда Византийская империя не стала существовать, многие ученые греки переселились в городка Запада. Возрос энтузиазм к Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало необычным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот энтузиазм. Доктора институтов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета не оставались в стороне и старались осознать эту новейшую Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало науку на собственный манер.

Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, по другому Региомонтанус, ведущая математическая фигура пятнадцатого столетия. В деятельности этого восхитительного вычислителя, мастера инструментов, печатника и ученого выявились те заслуги европейской арифметики Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, которые были изготовлены в течение 2-ух веков после Леонардо Пизанского. Региомонтанус усердно переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков. Еще его учитель, венский астролог Жора Пурбах (Peurbach), создатель астрономических и Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало тригонометрических таблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея. Региомонтанус окончил этот перевод и, не считая того, перевел Аполлония, Герона и более сложного из всех – Архимеда. Его главное оригинальное произведение – книжка Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало «О разных треугольниках» (De triangulis omnimodus libri quinkue, 1464 г., написана только в 1533 г.), полное введение в тригонометрию, отличающееся от наших сегодняшних учебников приемущественно отсутствием современных комфортных обозначений. Тут содержится аксиома синусов для Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало сферического треугольника. Все аксиомы все еще формулируются словесно. С этого момента тригонометрия становится наукой, не зависящей от астрономии. Нечто схожее было изготовлено Насир-ад-Дином в тринадцатом столетии, но значительно то Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, что его труды не получили значимого предстоящего развития, тогда как книжка Региомонтануса оказала глубочайшее воздействие на предстоящее развитие тригонометрии и на ее применение к астрономии и алгебре. Много труда положил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало таблиц. Он составил таблицу синусов с интервалом в одну минутку, принимая радиус окружности равным 60 000 (размещена в 1490 г.).

Значения синуса рассматривались как отрезки, представляющие полухорды соответственных углов в круге, потому они Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало зависели от длины радиуса. При большем радиусе достигалась большая точность и не нужно было использовать шестидесятичные (либо десятичные) дроби. Систематическое применение радиуса, равного 1, и тем определение синуса, тангенса и т. д Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. как отношений (чисел) идет от Эйлера (1748 г.).

7. До сего времени прежние заслуги греков и арабов не были приметным образом превзойдены. Классики оставались nec plus ultra (то, чего нет выше) науки. Потому, когда Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало итальянские арифметики сначала шестнадцатого века на самом деле проявили, что можно развить новейшую математическую теорию, которой не было у старых и у арабов, это было большой и вдохновляющей неожиданностью. Такая теория, которая Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало привела к общему алгебраическому решению кубических уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и его учениками в Болонском институте.

В итальянских городках и после эры Леонардо математика занимала 2-ое место. В пятнадцатом столетии мастера счета в Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Италии обладали арифметическими операциями, включая деяния с иррациональностями (без каких-то угрызений математической совести), а итальянские живописцы были неплохими геометрами. Вазари в собственных «Жизнеописаниях» подчеркивает, что живописцы пятнадцатого века Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало показали большой энтузиазм к геометрии места. Одним из их достижений была разработка теории перспективы такими людьми, как Альберти и Пьеро делла Франческа; последний написал также книжку о правильных телах. Мастера счета отыскали собственного истолкователя в Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало лице францисканского монаха Луки Пачоли (Pacioli), чья книжка «Сумма арифметики», одна из первых печатных математических книжек, появилась в 1494 г. Написанная на итальянском языке, притом на не очень роскошном, она содержала Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало все, что тогда знали по математике, алгебре и тригонометрии. С этого момента использование индийско-арабскими цифрами стало принятым, а арифметические обозначения в этой книжке не очень отличаются от наших. Пачоли окончил свою Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало книжку замечанием, что решение уравнений  столь же нереально при современном ему состоянии науки, как и квадратура круга.

Это стало отправной точкой для математиков Болонского института. Болонский институт в конце пятнадцатого столетия был одним Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало из наибольших и самых узнаваемых в Европе. Было время, когда только его астрономический факультет насчитывал шестнадцать лекторов. Студенты массами устремлялись из всех частей Европы, чтоб слушать тут лекции, также на общественные диспуты, которые Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало завлекали многих спортивно настроенных слушателей. В различные времена студентами этого института были Пачоли, Альбрехт Дюрер и Коперник. Для новейшей эры соответствующим было рвение не только лишь усвоить науку классиков, да Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало и сделать новое, перескочить через границы, обозначенные классиками. Искусство книгопечатания и открытие Америки указывали на наличие таких способностей. Но можно ли сделать новейшую арифметику? Античные греки и восточные народы испытывали свою изобретательность Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало на решении уравнений третьей степени, но они только численно решили несколько личных случаев. Сейчас же болонские арифметики пробовали отыскать общее решение.

Эти уравнения третьей степени можно было свести к трем типам:

,

где  и Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало  – положительные числа. Они были кропотливо изучены доктором Сципионом дель Ферро, который погиб в 1526 г. Можно сослаться на авторитет Бортолотти, утверждающего, что дель Ферро вправду решил все типы. Он никогда не публиковал Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало собственных решений и поведал о их только немногим друзьям. Но об этом открытии стало понятно, и после погибели Сципиона венецианский мастер счета, по прозвищу Тарталья (заика), переоткрыл его приемы (1535 г.). Он на публике Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало показал свои результаты, но как и раньше держал всекрете тот способ, при помощи которого он получил их. В конце концов, он раскрыл свои суждения ученому медику из Милана, Иерониму Кардано, который поклялся Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, что будет хранить их всекрете. Но, когда Кардано в 1545 г. опубликовал свою импозантную книжку по алгебре «Великое искусство» (Ars magna), Тарталья с возмущением нашел, что в ней стопроцентно раскрыт его способ, с подабающим Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало признанием наград создателя открытия, но все же уворованный. Завязалась жестокая полемика, с обеих сторон сыпались оскорбления. Заступником Кардано был юный ученый из дворян Людовико Ferrari. Эта перепалка породила несколько увлекательных Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало документов, посреди их «Вопросы» (Quaesiti) Тартальи (1546 г.) и «Вызовы» (Cartelli) Ferrari (1547–1548 гг.), которые довели до всеобщего сведения всю историю этого восхитительного открытия.

Приобретенное решение сейчас понятно как формула Кардано, и в случае уравнения  оно Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало имеет вид

.

Мы лицезреем, что это решение вводит выражения вида

,

хорошие от евклидовых.

«Великое искусство» Кардано содержало и другое блестящее открытие: способ Ferrari сведения решения общего уравнения четвертой степени к решению кубического уравнения. Уравнение Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Ferrari имело вид , он его сводил к уравнению . Кардано рассматривал и комплексные числа, называя их «вымышленными», но он не был в состоянии что-либо сделать в так именуемом «неприводимом случае» уравнения Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало третьей степени, когда налицо три реальных корня, но они получаются в виде суммы либо разности чисел, именуемых сейчас надуманными.

Эта трудность была преодолена последним из огромных болонских математиков шестнадцатого века Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, Рафаэлем Бомбелли, чья «Алгебра» появилась в 1572 г. В этой книжке и в «Геометрии», написанной около 1550 г. и оставшейся в рукописи, он вводит поочередную теорию надуманных и всеохватывающих чисел. Он записывает  как  (практически так: , где  обозначает Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало корень (radix), а  обозначает meno, т. е. меньше, минус). Это позволило Бомбелли разрешить неприводимый случай, показав, к примеру, что

.

Книжку Бомбелли читали многие: Лейбниц изучал по ней кубические уравнения, Эйлер цитирует Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Бомбелли в собственной «Алгебре», в главе об уравнениях четвертой степени. С этого момента всеохватывающие числа утратили кое-что из сверхъестественности, хотя полное их признание вышло исключительно в девятнадцатом столетии.

Любопытен тот факт Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, что в первый раз мнимости были введены в теории кубических уравнений в этом случае, когда было ясно, что действительное решение существует, хотя и в нераспознаваемом виде, а не в теории квадратных уравнений, в какой Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало они возникают в наших современных учебниках.

8. Алгебра и математика в течение многих десятилетий оставались у математиков возлюбленным объектом исследовательских работ. Это стимулировалось не только лишь Rechenhaftigkeit торговой буржуазии, но также и запросами Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало землемерия и мореплавания, которые выдвигались правительствами новых государственных стран. Инженеры были необходимы для возведения общественных построек и военных сооружений. Астрономия, как и в прошлые периоды, оставалась принципиальной областью математических исследовательских работ. Это Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало было время величавых астрономических теорий Коперника, Тихо Браге и Кеплера. Появилось новое представление о вселенной.

Философская идея отражала тенденции научного мышления, и Платон с его преклонением перед количественным и математическим рассуждением начал Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало брать верх над Аристотелем. А именно, воздействие Платона разумеется в работах Кеплера. Появлялись все более четкие тригонометрические и астрономические таблицы, сначала в Германии. Таблицы Ретика (G. J. Rhäticus), законченные Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало в 1596 г. его учеником Валентином Ото (Otho), содержали значения всех 6 тригонометрических величин через каждые 10 секунд с 10 знаками. Таблицы Питискуса (Pitiscus, 1613 г.) были доведены до пятнадцатого знака. Совершенствовалась техника решения уравнений, углублялось Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало осознание природы их корней. Для этой эры характерен общественный вызов, изготовленный в 1593 г. бельгийским математиком Адриеном ван Роменом (Roomen), решить уравнение 40 пятой степени

.

Ван Ромен указал некие личные случаи, к примеру

,

что дает

.

Эти случаи подсказаны Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало рассмотрением правильных многоугольников. Франсуа Виет, французский юрист, состоявший при дворе Генриха IV, решил задачку ван Ромена, заметив, что левая часть уравнения соответствует выражению  через . Потому решение можно отыскать при помощи таблиц. Виет Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало отыскал 20 три решения вида , отбрасывая отрицательные корешки.

Он также свел решение Кардано кубического уравнения к тригонометрическому, и при всем этом неприводимый случай закончил быть устрашающим, потому что дело обошлось без введения выражений вида Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало . Такое решение можно сейчас отыскать в учебниках высшей алгебры.

Главное достижение Виета состоит в усовершенствовании теории уравнений (к примеру, в работе «Введение в аналитическое искусство», In artem analyticam isagoge, 1591 г Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало.). Он был одним из первых, кто числа изображал знаками. Внедрение численных коэффициентов, даже в «риторической» алгебре школы Диофанта, препятствовало общему рассмотрению алгебраических задач. Работы алгебраистов шестнадцатого века («коссистов», от итальянского слова cosa – «вещь», «нечто», – которым Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало обозначали неведомое) написаны при помощи очень сложных обозначений. Но «видовая логистика» Виета означала возникновение (наконец) общей символики, в какой буковкы были применены для выражения численных коэффициентов, знаки «+» и «–» применялись Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало в нашем современном смысле, а заместо  писали: « квадратное». Эта алгебра все еще отличалась от нашей из-за того, что Виет придерживался греческого принципа однородности, согласно которому произведение 2-ух отрезков непременно рассматривалось как площадь Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало и в согласовании с этим отрезки можно было ложить только с отрезками, площади с площадями, объемы с объемами. Даже сомневались в том, имеют ли смысл уравнения степени выше третьей, потому что Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало они были бы истолкованы только в 4 измерениях, а это чуть ли можно было осознать в те времена.

В описываемый период вычислительная техника достигнула новых высот. Виет улучшил итог Архимеда и отыскал  с Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало девятью десятичными знаками. Скоро после того  было вычислено с 30 пятью десятичными знаками Лудольфом ван Цейленом (Ludolf van Ceulen) из Дельфта, использовавшим описанные и вписанные правильные многоугольники со все огромным и огромным числом сторон Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. Виет отыскал также выражение  в виде нескончаемого произведения (1593 г.); в наших обозначениях

.

Усовершенствование техники было результатом усовершенствования обозначений. А новые результаты демонстрируют, что было бы неправильным заявлять, как будто люди, подобные Виету, «всего лишь» усовершенствовали Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало обозначение. Подобные заявления третируют глубочайшей зависимостью меж содержанием и формой. Новые результаты нередко становятся вероятным только благодаря новенькому методу записи. Одним из примеров этого является введение индийско-арабских цифр Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало, другим примером может быть символика Лейбница в анализе. Подходящее обозначение лучше показывает реальность, чем неудачное, и оно оказывается вроде бы наделенным своей актуальной силой, которая в свою очередь порождает новое. За усовершенствованием Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало обозначений Виета поколение спустя последовало применение алгебры к геометрии у Декарта.

9. В новых торговых государствах, в особенности во Франции, Великобритании и Голландии, был большой спрос на инженеров и «арифметиков». Астрономия процветала во всей Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало Европе. После открытия морского пути в Индию итальянские городка уже не были на магистральной дороге, ведущей на Восток, хотя они еще оставались необходимыми центрами. Вот в связи с этим мы посреди величавых Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало математиков и вычислителей начала семнадцатого века лицезреем инженера Симона Стевина, астролога Иоганна Кеплера, землемеров Адриана Влакка и Езекииля де Деккера.

Стевин, бухгалтер из Брюгге, стал инженером в армии царевича Морица Оранского, оценившего Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало в нем сочетание здравого смысла, оригинальности и теоретического мышления. В работе «Десятая» (La disme, 1585 г.) он ввел десятичные дроби, что было составной частью проекта унификации всей системы мер на десятичной базе. Это было одним Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало из огромных усовершенствований, которые стали вероятными благодаря всеобщему принятию индийско-арабской системы счисления.

Другим огромным усовершенствованием вычислительной техники было изобретение логарифмов. Некие арифметики шестнадцатого столетия в известной мере занимались Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало сравнением арифметической и геометрической прогрессий, приемущественно с целью облегчить работу со сложными тригонометрическими таблицами. Принципиальным достижением на этом пути мы должны шотландскому лорду Джону Неперу (Neper либо Napier), который в 1914 г. напечатал Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало свое «Описание необычного канона логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio). Основной мыслью Непера было построение 2-ух последовательностей чисел, связанных таким макаром, что когда одна из их растет в арифметической прогрессии, другая убывает в геометрической Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. При всем этом произведение 2-ух чисел 2-ой последовательности находится в обычной зависимости от суммы соответственных чисел первой последовательности и умножение можно свести к сложению. При помощи таковой системы Непер мог существенно облегчить вычислительную Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало работу с синусами. Начальный метод Непера был в достаточной мере неловким, потому что его две последовательности соответствовали, в современных обозначениях, формуле

 (либо ),

где .

Когда , мы получаем не , a



Такая система не удовлетворяла и Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало самого Непера, как он сказал собственному почитателю Генри Бриггсу, доктору 1-го из английских колледжей. Они решили избрать функцию , при которой  вправду дает

.

После погибели Непера Бриггс выполнил это предложение и в 1624 г Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало. опубликовал свою «Логарифмическую арифметику», содержавшую «бригговы» логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.

Пробел от 20 000 до 90000 был заполнен Езекиилем де Деккером, голландским землемером, который при помощи Влакка Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало опубликовал в 1627 г. полную таблицу логарифмов.

Новое изобретение сразу приветствовали арифметики и астрологи, а именно Кеплер, который ранее заполучил большой и нелегкий опыт в деле широких вычислений.

Данное тут толкование логарифмов при помощи показательной функции Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало исторически в известной мере неверно, потому что понятие показательной функции всходит только к концу семнадцатого века. У Непера не было понятия основания логарифмов.

Натуральные логарифмы, связанные с функцией , появились практически Глава V. Западная Европа. - Начало - I. Начало сразу с бригговыми, но их базовое значение было понято только тогда, когда стали лучше осознавать исчисление нескончаемо малых.


glava-v-vklad-krupnih-saprofagov-v-destrukciyu-organicheskogo-veshestva-v-lesnih-ekosistemah.html
glava-v-vnutrisemejnie-otnosheniya-i-vospitanie-kniga-nachinaetsya-s-pervih-upominanij-o-chislennosti-naseleniya.html
glava-v-vstuplenie-dlya-chego-napisana-eta-rabota.html